1- شبکه وارون و شرایط براگ

برای هر شبکه منظم و متناوب می‌توان سه بردار پایه تعریف کرد که معرف تناوب این شبکه باشند. این سه بردار پایه را با  نشان می‌دهند و آن‌ها را از آن جهت پایه می‌نامند که کوچک‌ترین بردار‌های ممکن برای بیان تناوب شبکه هستند. هر بردار در شبکه بین نقاط شبکه را می‌توان به صورت زیر نشان داد:

در شکل دو بعدی زیر این بردار‌ها نشان داده شده است.

شکل 1- بردار‌های پایه در یک شبکه دو بعدی
 

برای هر شبکه، شبکه‌ای به‌نام شبکه وارون یا شبکه تکانه (مومنتوم) یا شبکه بردار موج می‌توان تعریف کرد. این شبکه در تحلیل برهم‌کنش شبکه با امواج کاربرد زیادی دارد. فرض کنید اشعه به‌طور یکسانی با نقاط شبکه برخورد می‌کند؛ همانند شکل زیر در حالت دو بعدی.

شکل 2- برخورد اشعه با شبکه با تناوبی همانند تناوب شبکه
 

این حالت را می‌توان با متناوب بودن بردار A با تناوبی همانند بردارهای R₁ یا R₂ بیان کرد. با فرض این‌که A موج تخت باشد:

بنابراین برای K با توجه به تناوب R شرایط خاصی وجود دارد. Kهای متعددی در این شرایط صدق می‌کنند و همان‌طور که بردار‌های R یک شبکه را تعیین می‌کردند، بردارهای k نیز یک شبکه را تعیین می‌کنند. این شبکه، شبکه وارون است. بردارهای پایه در شبکه وارون بر حسب بردار‌های شبکه کریستالی به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

برای روشن شدن رابطه شرط براگ و شبکه وارون به شکل زیر توجه کنید.

شکل 3- اختلاف راه دو اشعه 1 و 2 در پدیده پراش

بردار موج K_i به نقاط شبکه برخورد می‌کند و با بردار K_f پراشیده می‌شود. فرض کنید طول موج در این برخورد تغییر نمی‌کند (برخورد الاستیک) و ∣K_i∣ = ∣K_f∣. اختلاف راه در شکل با a وb نشان داده شده است. برای این که دو اشعه 1 و 2 به‌طور سازنده با هم جمع شوند، اختلاف فاز ایجاد شده باید مضرب صحیحی از 2π باشد.

با توجه به این که r یکی از بردارهای تناوب شبکه است، تنها راه برقراری شرط بالا این است که یکی از بردارهای شبکه‌ وارون باشد. شکل زیر نحوه برقراری تساوی بالا در شبکه وارون را نشان می‌دهد.

شکل 4- نمای دو بعدی از کره اوالد و شرط براگ در شبکه وارون

شکل بالا بردارهای K_i و K_f را در شبکه وارون نشان می‌دهد. جهت دو بردار متفاوت اما اندازه دو بردار برابر است که نشان‌دهنده طول موج برابر است. برای بردار K_i تمام نقاط روی دایره در شرایط براگ صدق می‌کنند. این شکل راهی برای پیدا کردن بردارهای مختلف که در شرط براگ صدق می‌کنند را نشان می‌دهد.
در عمل برای پیدا کردن اشعه‌های ممکن پراشیده شده حاصل از اشعه K_i ، بردار K_i را در شبکه وارون با توجه به اندازه (وابسته به طول موج) و جهت برخورد رسم می‌کنیم. کره‌ای به شعاع K_i رسم می‌کنیم (کره اوالد Ewald). تمام نقاط روی کره در شرایط براگ صدق می‌کنند. در صورتی‌که نقطه‌ای روی کره نبود می‌توان با جابه‌جا کردن یا چرخاندن بردار، نقاطی را روی کره قرار داد. این کار در عمل با تغییر زاویه و محل برخورد اشعه با کریستال یا چرخاندن کریستال اتفاق می‌افتد.

2- تکنیک‌های XRD
همان‌طور که می‌دانیم متغیر‌های قابل تغییر در شرط براگ، زاویه تابش و طول موج اشعه ایکس و مرتبه پراش هستند. برای یک صفحه خاص شرط براگ به‌سختی برقرار می‌شود. از این‌رو تکنیک‌های متفاوت XRD به‌دنبال بررسی سریع‌تر و دقیق‌تر نمونه هستند. این روش‌ها اصولاً با تغییر دادن یکی از متغییرهای شرط براگ به این هدف می‌رسند.

1-2- روش لاوه (Laue method)
این روش نخستین بار توسط فون لاوه و همکارانش مورد استفاده قرار گرفت و قدیمی‌ترین تکنیک XRD برای بررسی کریستال‌ها است. دراین روش با استفاده از طول موج‌های متعدد، امکان بررسی سریع‌تر و آسان‌تر نمونه فراهم می‌شود. در این روش از اشعه نور سفید (غیر تک‌فام) که از طول موج‌هایی بین λ_min و λ_max تشکیل شده است، استفاده می‌شود. این اشعه به کریستال ثابت برخورد کرده و هر طول موج توسط صفحات خاصی پراشیده می‌شود. برای درک بهتر این روش به تصویر زیر توجه کنید.

شکل 5- روش لاوه در شبکه وارون. تمام نقاط در قسمت تیره رنگ توسط طول موج‌های نور سفید تابیده شده در شرط براگ قرار می‌گیرند.

در این شکل که مربوط به شبکه وارون کریستال است، دو بردار موج هم جهت مشخص شده است که معرف طول موج‌های λ_min و λ_max در اشعه سفید هستند. دایره‌های مربوط به هر طول موج رسم شده است. هر نقطه درون ناحیه تیره توسط دایره‌ای با طول موج بین λ_min و λ_max در شرایط براگ قرار می‌گیرد. در عمل، اشعه‌های پراشیده شده معمولاً بر روی یک مخروط قرار می‌گیرند (شکل 6) و از صفحه‌ای تخت عمود بر اشعه تابش جهت ثبت اشعه‌های پراشیده شده استفاده می‌شود. هر اشعه بر روی صفحه نقطه‌ای را مشخص می‌کند. از بررسی این نقاط می‌توان به جهت‌گیری کریستال وتقارن شبکه پی‌برد. در شکل زیر نمایی از دو حالت انعکاسی و عبوری روش لاوه نشان داده شده است.

شکل 6- روش لاوه در حالت انعکاسی. صفحه‌ بین منبع اشعه ایکس و نمونه، اشعه‌های انعکاسی را ثبت می‌کند.

شکل 7- روش لاوه در حالت عبوری. صفحه بعد از کریستال قرار می‌گیرد و اشعه‌های عبوری را ثبت می‌کند.

2-2- روش کریستال چرخان (Rotating crystal)
در روش کریستال چرخان، کریستال برخلاف روش لاوه، تحت تابش اشعه تک‌فام قرار می‌گیرد. کریستال حول محوری عمود بر اشعه می‌چرخد و در حین چرخش صفحات متفاوتی در شرایط براگ قرار می‌گیرند. این اشعه‌ها بر روی صفحات مخروطی قرار می‌گیرند. کریستال درون استوانه قرار دارد و استوانه اشعه‌های پراشیده شده را ثبت می‌کند. هنگامی که این صفحه استوانه‌ای باز می‌شود، نقاط مربوط به اشعه‌های‌ هر مخروط روی یک خط قرار می‌گیرند. عمده کاربرد این روش تعیین ساختار‌های کریستالی نامشخص است. در شکل زیر نمایی از روش کریستال چرخان نشان داده شده است.

شکل 8- روش کریستال چرخان

در XRD از پودر نمونه استفاده می‌شود. این امر امکان حضور صفحات مختلف با احتمال یکسان در نمونه را فراهم می‌کند. از آن‌جا که این صفحات مختلف مشخصه نمونه هستند با بررسی آن‌ها می‌توان به بررسی نمونه پرداخت.

1-2-2- روش پودری
همان‌طور که در دو روش پیش مشاهده شد، شرایط براگ به‌سختی برای یک اشعه تک‌فام برقرار می‌شود. در روش پودری با استفداه از پودر نمونه این امکان به‌وجود می‌آید که اشعه با صفحات متفاوتی که به‌صورت تصادفی در نمونه قرار دارند، برخورد کند. بدین ترتیب صفحات زیادی به‌راحتی امکان قرار گرفتن در شرایط براگ را پیدا می‌کنند. این روش امکان بررسی دقیق نمونه و تعیین بردار‌های پایه شبکه و کمیات مرتبط را می‌دهد. روش پودری پرکاربردترین روش XRD است.

2-2-2- هندسه و نحوه کارکرد روش پودری
در متداول‌ترین حالت پودری، منبع و آشکارساز بر روی محیط دایره‌ای با شعاع ثابت و نمونه در مرکز دایره قرار می‌گیرد. نمونه و منبع ثابت بوده و آشکارساز به‌وسیله بازوی مکانیکی حرکت می‌کند.

شکل 9- پیکربندی XRD در حالت پودری

همان‌طور که در شکل 9 مشاهده می‌شود، امتداد منبع - نمونه و امتداد نمونه - آشکارساز با هم زاویه 2θ می‌سازند که θ زاویه بین اشعه تابش و صفحه نمونه است. از این‌رو این پیکربندی XRD معروف θ-2θ است. بازوی مکانیکی جهت پویش (Scan) نمونه از زاویه‌ 0 درجه تا 170 درجه می‌تواند تغییر کند. انتخاب بازه پویش با توجه به خصوصیات نمونه، توسط کاربر تعیین می‌شود. در عمل بیشتر از بازه 30 درجه تا 140 درجه استفاده می‌شود. این بازه به چندین گام کوچک تقسیم شده و آشکارساز با توقف در هر گام شدت اشعه ایکس را در طول مسیر ثبت می‌کند. اندازه گام‌ها و زمان توقف در هر گام در کیفیت نمودار حاصل تأثیر دارد و توسط کاربر قابل تنظیم است.
همچنین از هندسه θ-θ نیز در XRD‌ استفاده می‌شود. در این حالت منبع و آشکارساز هم‌زمان بر روی دایره حرکت می‌کنند و نمونه ثابت است.
در حالتی دیگر، نمونه حول محوری خاص (محور عمود بر یکی از صفحات) توسط پایه دوار 360 درجه می‌چرخد. منبع و آشکارساز نیز برای وفق دادن خود با چرخش نمونه حرکت می‌کنند. به این نوع پویش، امگا (ω) می‌گویند. این شیوه ببیشتر برای بررسی تنش و کرنش مورد استفاده قرار می‌گیرد.
در حالتی دیگر نمونه حول محور عمود بر صفحه می‌چرخد. این نوع پویش موسوم به پویش فی (Φ-scan) بوده و بیشتر برای بررسی لایه‌های نازک چند کریستالی مورد استفاده قرار می‌گیرد. در شکل زیر زوایای ω وΦ و دوران حول آن‌ها مشخص شده است.

شکل 10- محور‌های دوران پویش ω وΦ

3- کاربرد‌های XRD
امروزه متداول‌ترین و پرکاربردترین روش XRD، روش پودری است. بررسی پودر جامدات کاربرد‌های زیادی در صنعت و تکنولوژی دارد. همچنین در علوم زمین‌شناسی، داروسازی، پزشکی، مهندسی مواد وغیره کاربرد فراوانی دارد. در ادامه به بعضی از تکنیک‌های مورد استفاده در پراش پودر جامدات اشاره می‌کنیم.

1-3- تعیین فاز (phase identification)
این تکنیک که کاربرد فراوانی در صنعت دارد، اساسی‌ترین کابرد XRD است. همان‌طور که قبلاً گفته شد هم مکان قله‌ها (زاویه قله‌ها) و هم شدت قله‌ها حاوی اطلاعاتی از نمونه است. با استفاده از این اطلاعات می‌توان ساختار اتمی و فاز صفحات پراش‎کننده را تعیین کرد و از این طریق به جنس و ساختار نمونه پی‌برد. این کار از طریق مقایسه نمودار حاصل با استاندارد‌های موجود انجام می‌شود. استاندارد نمونه‌های متعددی در مرکز بین‌المللی اطلاعات پراش ICDD (International center for diffraction data) تهیه شده و در اختیار محققین قرار می‌گیرد.

2-3- بلورینگی (crystallinity)
در تمام مواد خصوصیات ساختاری کریستالی، یا همان نظم کریستالی، به‌طور کامل در ماده وجود ندارد و مواد به‌صورت ترکیبی از حالت آمورف (بی‌‌نظم) و کریستالی هستند. حوزه‌های آمورف قله‌های پهن و حوزه‌های کریستالی قله‌های تیز را در نمودار تشکیل می‌دهند. از نسبت شدت این قله‌ها می‌توان برای تعیین بلورینگی استفاده کرد.

3-3- اندازه‌گیری حوزه‌های کریستالی (measuring crystalline size)
پهنای قله‌ها خود حاوی اطلاعاتی از نمونه است. اندازه حوزه کریستالی و میکروکرنش (کرنش کوتاه برد که در اثر عیوب شبکه ایجاد می‌شود) عوامل مؤثر در پهنای قله‌ها هستند. بدیهی است که هرچه حوزه کریستالی بزرگ‌تر و عیوب شبکه کمتر باشد، پهنای قله‌ها کمتر است. با استفاده از روابط موجود و تجزیه و تحلیل نمونه می‌توان به اندازه حوزه کریستالی پی برد. به‌عنوان مثال میکروکرنش باعث تغییر شبکه وارون می‌شود. با اندازه‌گیری و تعیین شبکه وارون توسط XRD و سپس تبدیل وارون، می‌توان ساختار شبکه را تعیین کرد و به میکروکرنش پی‌برد. از جمله کاربرد‌های این تکنیک می‌توان به بررسی سینتر شدن (sintering) کاتالیست و تعیین اندازه ذرات اشاره کرد. تأثیر اندازه ذرات بر روی پهنای قله‌ها با روابطی مانند رابطه‌ شرر (Scherrer) تعیین می‌شود.

B پهنای قله (پهنای کامل در نصف ماکسیمم)، λ طول موج اشعه ایکس، L اندازه ذره، θ زاویه بین اشعه تابش و صفحه (ذره) و K یک عدد ثابت (ضریب شکل بلور، به صورت تقریبی 1) است.

4-3- تانسور انبساط (expansion tensor)
برای تعیین خصوصیات نمونه به‌عنوان تابعی از دما یا فشار می‌توان نمونه را در معرض دما یا فشار کنترل شده قرار داد و هم‌زمان اطلاعات حاصل از‌ XRD را بررسی کرد. در این حالت در XRD تجهیزات مورد نظر گرمایی یا تغییر فشار اضافه می‌شوند و نمونه در حین پراش و بررسی تحت گرما یا فشار قرار می‌گیرد. با بررسی نمونه در زوایا و شرایط متفاوت می‌توان تانسور انبساط را تعیین کرد.

5-3- تحلیل بافت (Texture analysis)
توزیع غیرتصادفی صفحات و ارجحیت جهتی خاص در نمونه باعث تغییر شدت قله‌ها می‌شود. به این توزیع غیرتصادغی صفحات، بافت (texture) می‌گویند. با مقایسه شدت قله‌ها با حالت کاملاً تصادفی می‌توان به توزیع غیرتصادفی صفحات دست یافت. بافت در خصوصیات مکانیکی همچون کشش و مقاومت تأثیر زیادی دارد.

6-3- تنش پسماند (residual stress)
یکی از پرکابردترین تکنیک‌ها جهت بررسی تنش پسماند، به علت غیرمخرب بودن، XRD است. تنش پسماند باعث تغییر فاصله صفحات و در نتیجه زاویه پراش می‌شود. اثر تنش هم بر روی زاویه پراش و هم پهنای قله‌ها است. با بررسی و تحلیل نمودار می‌توان تنش پسماند را تعیین کرد.

4- نتیجه‌گیری
همان‌طور که گفته شد XRD تکنیکی سریع و پرکاربرد است. پیکربندی و تجهیزات نه چندان پیچیده سرعت ثبت اطلاعات بالا را در XRD باعث می‌شود. همچنین روابط ساده ولی عام، امکان استفاده از XRD در موارد متفاوتی را می‌دهد. اکثر کاربرد‌های XRD با تعیین پارامترهای مؤثر در کمیت‌های اساسی مثل زاویه‌ براگ، شدت قله‌ها و پهنای قله‌ها که توسط XRD قابل اندازه‌گیری هستند، تعریف شده‌اند.

در فیلم زیر، مطالبی درباره سلول واحد و شبکه‌های براوه، تداخل امواج، پراش اشعه ایکس و رابطه براگ، تفاوت بازتابش و پراش، روش‌های پراش پرتو ایکس و اجزای دستگاه پراش پرتو ایکس ارائه شده است.

در فیلم زیر نیز مطالبی درباره کاربردهای اشعه ایکس مانند شناسایی فازها، تعیین اندازه کریستالیت، تجزیه کمی فاز، تعیین پارامترهای شبکه و اندازه‌گیری تنش پسماند نمونه ارائه شده است.