برترین کاربران هفتگی این مقاله

از ۱۳۹۷/۰۸/۱۹ تا ۱۳۹۷/۰۸/۲۵

هیچ کاربری در این بازه زمانی وجود ندارد

آمار مقاله
  • بازدید کل ۵۳,۳۳۸
  • بازدید این ماه ۳۱۰
  • بازدید امروز ۲
آمار آزمون مقاله
  • کل شرکت کنندگان ۴۵۳
  • قبول شدگان ۳۵۷
  • شرکت کنندگان یکتا ۲۱۲
  • میانگین درصد شرکت کنندگان ۷۲
واژه نامه فناوری نانو

نانو

nano

پيشوندي به معناي يک بيليونم يا (000،000،000،1/1). در متون فناوري‌نانو، معمولا براي مشخص کردن يک واحد اندازه‌گيري برابر با 10 به توان منفي 9 متر استفاده مي‌شود.

سطح مقاله

پیشرفته 2

نویسندگان
کلمات کلیدی
امتیاز کاربران

ابزار ریاضی مکانیک کوانتومی

در مقاله های قبل ناتوانی فیزیک کلاسیک در توصیف برخی پدیده‌های فیزیکی بیان شد و همچنین پدیده‌هایی که مقدمه‌ی شکل‌گیری مکانیک کوانتومی بودند، معرفی گردید. در نهایت این نتیجه حاصل شد که طبق نظریه‌ی دوبروی، ذرات نیز می‌توانند خاصیت موجی داشته باشند. همان طور که گفته شد هایزنبرگ با توجه به جایگزیده نبودن امواج، اصل عدم قطعیت خود را معرفی کرد. درنتیجه با توجه به ناتوانی فیزیک کلاسیک در توصیف پدیده‌های یاد شده، حوزه‌ی جدیدی، به نام مکانیک کوانتومی، در فیزیک مکانیک پدیدار شد. برای بیان کمی خصوصیات مکانیک کوانتومی نیاز به ابزار ریاضی وجود دارد. در این راستا دو نوع فرمول‌بندی مختلف مورد توجه است: مکانیک موجی شرودینگر و مکانیک ماتریسی هایزنبرگ که به ترتیب عبارتند از نمایش فرمول‌بندی عمومی مکانیک کوانتومی در پایه‌ی پیوسته و پایه‌ی گسسته. در ادامه ابزارهای ریاضی مورد نیاز برای فرمول‌بندی‌ در پایه‌ی گسسته معرفی می شود.
معادله‌ی شرودینگر، یک معادله‌ی خطی است و اساسی‌ترین معادله‌ی مکانیک کوانتومی می‌باشد. در مکانیک کوانتومی، عملگرهایی مورد توجه هستند که خطی باشند و تابع موج آن‌ها به فضای هیلبرت تعلق داشته باشد. به این ترتیب بررسی خواص ریاضی و ساختار فضای هیلبرت، برای درک مفاهیم مکانیک کوانتومی ضرورت دارد.
مکانیک کوانتومی بر دو فرمول بندیِ متفاوت که توسط شرودینگر و هایزنبرگ ارائه شد، استوار است. «مکانیک موجی شرودینگر» و «مکانیک ماتریسی هایزنبرگ» به ترتیب عبارتند از نمایش فرمول‌بندی عمومی مکانیک کوانتومی در پایه‌ی پیوسته و پایه‌ی گسسته.
در این مقاله برای توصیف ویژگی‌های فضای هیلبرت و معرفی عملگرها، از نمادگذاری بِرا-کِت دیراک استفاده می‌شود. هم‌چنین ریاضیات مربوط به نمایش کت‌ها، براها، برا-کت‌ها و عملگرها در پایه‌های گسسته و پیوسته معرفی می‌شود.
2- فضای هیلبرت
فضای هیلبرت، H ، شامل مجموعه بردارهای ψ، φ، χ و ...، و مجموعه اعداد a، b، c و ... است که چهار خاصیت زیر را برآورده می‌کند:
2-1- H یک فضای خطی است.
فضای خطی شامل دو مجموعه از عناصر و دو قانون جبری می‌باشد.
2-1-1- قانون جمع
• اگر ψ و φ بردارهایی از یک فضا باشند، مجموع آن‌ها نیز برداری در همان فضاست.
• جابه‌جایی: filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
• شرکت‌پذیری: filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636
• وجود یک عنصر خنثا یا صفر: برای هر بردار ψ یک بردار صفر Ο وجود دارد، به گونه‌ای که:
                       (1)  filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2
• وجود یک بردار وارون یا متقارن: برای هر بردار ψ یک بردار متقارن -ψ وجود دارد، به گونه‌ای که:
                       (2)   filereader.php?p1=main_a87ff679a2f3e71d9
- قانون ضرب
• حاصل‌ضرب یک کمیت نرده‌ای در یک بردار، بردار است. در حالت کلی اگر ψ و φ دو بردار در فضا باشند، هر ترکیب خطی از آن‌ها، aψ+bφ، نیز برداری در فضا خواهد بود؛ a و b نرده‌ای هستند.
• توزیع‌پذیری نسبت به جمع:            filereader.php?p1=main_1679091c5a880faf6
• شرکت‌پذیری نسبت به ضرب نرده‌ای‌ها:               filereader.php?p1=main_1679091c5a880faf6
• برای هر بردار ψ یک بردار واحد I و یک بردار صفر O وجود دارد، به گونه‌ای که:

                                          (3)                             filereader.php?p1=main_8f14e45fceea167a5               
                                          (4)                                filereader.php?p1=main_c9f0f895fb98ab915
2-2- H دارای یک ضرب تعریف شده است که لزوماً مثبت می‌باشد.
ضرب نرده‌ای بردار ψ در بردار φ، یک کمیت نرده‌ای است که می‌تواند مختلط باشد. این کمیت با (ψ,φ) نشان داده می‌شود. ضرب نرده‌ای دارای خصوصیات زیر است:
  •  ضرب نرده‌ای ψ در φ، برابر است با مزدوج مختلط φ در ψ(مزدوج مختلط برای یک عدد مختلط، عدد مختلط دیگری است که علامت قسمت موهومی آن متفاوت است):                   
                                          (5)                                filereader.php?p1=main_45c48cce2e2d7fbde   
  •  ضرب نرده‌ای ψ در φ، نسبت به φ خطی است که به صورت زیر نوشته می شود:
                                 (6)                      filereader.php?p1=main_d3d9446802a442597


که در آن تساوی فقط برای حالت ψ=0 برقرار می‌باشد.

  •     ضرب نردهای هر بردار ψ در خودش، یک عدد حقیقی مثبت است:filereader.php?p1=main_6512bd43d9caa6e02
 2-3- H تفکیک‌پذیر است.
یک دنباله‌ی کوشی filereader.php?p1=main_491f098bdcabb8c63 وجود دارد به طوری که برای هر ψ از فضای H و ε>0 ، حداقل یک ψn از دنباله وجود دارد که:
                                         (8)                                          filereader.php?p1=main_d3d9446802a442597
                                                                            
2-4- H کامل است.
هر دنباله‌ی کوشی از عناصرfilereader.php?p1=main_c51ce410c124a10e0 به یک عضو همگرا می‌شود. بدین معنا که برای هر ψn، رابطه‌ی:

                                                   (9)                                             filereader.php?p1=main_6512bd43d9caa6e02
یک حد یکتای ψ از H را تعریف می‌کند، به گونه‌ای که:

                                                   (10)                                        filereader.php?p1=main_aab3238922bcc25a6
نکته: دنباله‌ی کوشی، دنباله‌ای از اعدادی است که تمام اعضای آن، به یک عدد خاص همگرا می‌شوند.

filereader.php?p1=main_07113dd935e99e8bc
شکل 1- دنباله‌ی کوشی

حالت فیزیکی یک سیستم در مکانیک کوانتومی با عناصر فضای خطی هیلبرت نشان داده می‌شود. این عناصر بردارهای حالت نامیده می‌شوند.
شخصی به نام پل آدریان موریس دیراک (Paul Adrien Maurice Dirac)، نمادگذاری جمع و جور و قدرتمندی را معرفی کرد که هم در فضای برداری و هم در فضای هیلبرت کاربرد دارد. به هر تابع موج ψ یک بردار حالت filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820نسبت داده می‌شود که به آن «کت» گفته می‌شود. هم‌چنین به هر مزدوج مختلطِ تابع موجِ φ، یعنیφ* ، یک بردار حالت filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636نسبت داده می‌شود که «برا» نام دارد. ضرب داخلی(φ,ψ) ، با «برا-کت»filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2  نشان داده می‌شود.

filereader.php?p1=main_d870270f8b1dfdddc
شکل 2- پل آدریان موریس دیراک (Paul Adrien Maurice Dirac)

همانند توابع موج، کت‌ها نیز عناصر فضای هیلبرت هستند. به ازای هر کت، «برا»ی یکتایی وجود دارد و برعکس. بردارهای برا، به یک فضای هیلبرتِ H * تعلق دارند؛ این فضا به عنوان فضای دوگانه‌ی فضای هیلبرتِ H متشکل از بردارهای کت، شناخته می‌شود.
کت، حالت یک سیستم را مشخص می‌کند و از این رو دانستن کت به معنای دانستن همه‌ی اطلاعات آن سیستم می‌باشد. می¬توان بردارهای حالت را با استفاده از بسط‌ توابع، در پایه‌های مختلف فضا بسط داد. پایه‌های فضا می‌تواند در فضای مکان، اندازه حرکت خطی، انرژی یا هر کمیت دیگر باشد. به طور مثال، بردار حالت یک ذره در زمان t با تابع موج فضاییfilereader.php?p1=main_a87ff679a2f3e71d9 نشان داده می‌شود. در فضای  موقعیت، ضرب نقطه‌ای filereader.php?p1=main_e4da3b7fbbce2345d  به صورت زیر است:
                                            (11)                        filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820   
به همین ترتیب اگر فضای تکانه را انتخاب کنیم، حالت ذره با تابع موج توصیف می‌شود که تکانه‌ی filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 ذره است و ضرب نقطه‌ای filereader.php?p1=main_e4da3b7fbbce2345d، به صورت زیر نوشته می شود:
                                             (12)                              filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820

3-1- خواص کت‌ها، براها و برا-کت‌ها
  •  هر«کت» دارای یک «برا»ی متناظر است.
به ازای هر «کت» filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820یک «برا»ی filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820متناظر، وجود دارد که با رابطه‌ی زیر داده می‌شود:
                          (13)               filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636
                           (14)                filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2       
  • خواص ضرب نرده‌ای
با توجه به اینکه در مکانیک کوانتومی حاصل ضرب نرده‌ای، یک عدد مختلط است، رعایت ترتیب در ضرب اهمیت دارد. باید دقت کرد که ضرب نرده‌ای از مزدوج مختلط آن متمایز است؛ یعنی  filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820و filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2 متفاوتند.
                                                           (15)             filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636
حالت filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2تنها زمانی اتفاق می‌افتد که filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 و filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 حقیقی باشند.
ضرب نرده‌ای را می‌توان به دو صورت تعبیر کرد:
1. در تشابه به ضرب نرده‌ای بردارهای معمولی در فضای اقلیدسی که A.B بیانگر تصویر B روی بردار A است، ضرب filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2 هم بیانگر تصویر filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 روی filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636 می‌باشد.

filereader.php?p1=main_6792c51fdb29bfbf8
کل 3- ضرب نرده‌ای filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2

2. در مورد حالت‌های بهنجار، کمیت filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2 دامنه‌ی احتمالی را نشان می‌دهد که بعد از اندازه‌گیری روی سیستم ، حالت سیستمِ filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820در حالت دیگری مانند filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 پیدا شود.
نکته: حالت بهنجار حالتی است که انتگرال مجذور تابع موج مربوط به آن، برابر 1 باشد.
  • نُرم (احتمال قرارگرفتن یک حالت بهنجارروی خودش) حقیقی و مثبت است.      برای هر بردار حالت filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 در فضای هیلبرت، نُرم filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 حقیقی و مثبت است.filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 فقط زمانی برابر صفر است کهfilereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636.
اگر حالتfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 بهنجار شود، آنگاه filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2 است
  •  حالات تعامدد

دو کتfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 وfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 متعامد هستند اگر ضرب نرده‌ای آن‌ها برfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820ابر با صفر باشد:
                                        (16)                                            filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820  filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
  • حالات متعامد-بهنجار
دو کت filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 وfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 را متعامد-بهنجار گویند اگر متعامد باشند و نرم هرکدام نیز برابر 1 باشد:
            filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820

اگر filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 و filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 بردارهای مربوط به یک فضا باشند، ضرب‌های filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 و filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 ممنوع هستند. این ضرب‌ها هیچ معنایی ندارند چرا که نه برا هستند و نه کت. اما اگرfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 و filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 به دو فضای مختلف تعلق داشته باشند، آن‌گاه ضربfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820، که به صورت filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 نوشته می‌شود، بیانگر یک ضرب تانسوری از filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820و filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 خواهد بود. تنها در این موارد است که چنین ضرب‌هایی معنا دارند.
3-2- عملگرها
یک عملگر filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636، قانونی ریاضی است که وقتی روی کتی عمل می‌کند، آن را به کت دیگری در همان فضا تبدیل می‌نماید. به همین ترتیب وقتی یک عمگلر روی برا اثر می‌کند، آن را به «برا»ی دیگری تبدیل می‌نماید:
             filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
   در زیر، چند عمگلر مهم در مکانیک کوانتومی معرفی شده است:
  •  عملگر یکانی: filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
  •  عملگر پاریته: filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636
  • عملگر اندازه حرکت خطی:filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2
  • عملگر لاپلاسی: filereader.php?p1=main_a87ff679a2f3e71d93
 3-2-1- مزدوج هرمیتی
• مزدوج هرمیتی ِعدد مختلط a که باa  نمایش داده می شود در واقع مزدوج مختلط آن عدد است:
                                            (19)                                                                    filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
• مزدوج هرمیتی یک عملگر که با نمایش داده می شود با رابطه زیر تعریف می‌گردد:
                                           (20)                                                                       filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636
• به عملگری هرمیتی می گویند که با مزدوج هرمیتی خود برابر باشد، یعنی:
                                      filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2
                          
• عملگرfilereader.php?p1=main_a87ff679a2f3e71d9 پادهرمیتی نامیده می‌شود اگر:
                                          filereader.php?p1=main_e4da3b7fbbce2345d
ویژه مقادیر و ویژه توابع یک عملگر
تمام مسائل در مکانیک کوانتومی در نهایت به حل یک معادله‌ی ویژه مقداری ختم می‌شود. بنابراین ویژه مقدارها و ویژه تابع‌ها خصوصیات مهمی هستند و آشنایی با آن‌ها در مکانیک کوانتومی امری ضروری است.
بردار حالتfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 ویژه بردار یا ویژه حالت و یا ویژه کتِ عملگرfilereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636 نامیده می‌شود اگر اثر عملگر رویfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 به صورت زیر باشد:
                       
                                                                 (25)                        filereader.php?p1=main_e4da3b7fbbce2345d
معادله‌ی فوق به معادله‌ی ویژه مقداری معروف است که در آن a عددی مختلط بوده و ویژه مقدار عملگر نامیده می‌شود. جواب‌های این معادله، ویژه مقدارها و ویژه توابع عملگر می باشند. در ادامه روش حل معادلات ویژه مقداری شرح داده می شود.
4- نمایش ماتریسی کت‌ها، براها و عملگرها
در ابتدا به نمایش ماتریسی براها، کت‌ها و عملگرها، در پایه‌های گسسته پرداخته می¬شود و سپس این مطلب در پایه‌های پیوسته نیز مورد مطالعه قرار می‌گیرد.
4-1- نمایش ماتریسی در پایه‌های گسسته
همانند بسط در فضای اقلیدسی بر حسب بردارهای پایه، در مکانیک کوانتومی نیز لازم است که هر کت از فضای هیلبرت را بر حسب مجموعه‌ی کاملی از کت‌های پایه‌ی دو به دو متعامد- بهنجار بیان شود. بدین ترتیب، بردارهای حالت توسط مؤلفه‌هایشان در پایه‌ی مورد نظر، نمایش داده می‌شوند.
برای شروع، پایه‌ای گسسته، کامل و متعامد- بهنجار که از مجموعه‌ای نامتناهی از کت‌های filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 ساخته شده در نظر گرفته و با { filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820} نمایش داده می‌شود. شرط بهنجارش کت‌های پایه به صورت زیر بیان می‌گردد:
                                                             (26)                                    filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
در رابطه‌ی بالاfilereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636دلتای کرونیکر است.
رابطه‌ی تمامیت (completeness relation) یا بستاری (closure relation) برای این پایه‌ها به صورت
                                                           (27)                             filereader.php?p1=main_a87ff679a2f3e71d9
نمایش داده می‌شود که در آن عملگرfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 واحد است. در واقع وقتی عملگر واحد روی یک کت اثر می‌کند، آن را بدون تغییر رها می‌کند.
برای نمایش کت filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820به صورت ماتریسی، ابتدا به چگونگی نمایش آن در قالب پایه‌ی {filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820} پرداخته می شود. با توجه به رابطه‌ی تمامیت، می‌توان بردار حالتfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820را بر حسب کت‌های پایه‌ی filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 بسط داد:

                   (28)                                                         filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636
ضریب an، که برابر با filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2 است، بیانگر تصویرfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 رویfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 می‌باشد؛ به عبارت دیگر، an مؤلفه‌ی filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820در امتداد بردار filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 است. به طور کلی ضرایب، اعداد مختلطی هستند که در پایه‌ی {filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820}، کت filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 در امتداد filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 به ترتیب توسط مجموعه‌ای از مؤلفه‌هایش یعنی a1، a2، a3 و ... نمایش داده می‌شود. به این ترتیب،filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 را می‌توان با ماتریسی ستونی که دارای تعداد نامتناهیِ قابل شمارشی از مؤلفه‌هاست، به صورت زیر، نشان داد:
                                         filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820

به همین ترتیب، «برا»یfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 نیز توسط یک بردار سطری نمایش داده می‌شود:
filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
در نمایش ماتریسی مشاهده می‌کنیم که برا-کت filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 عددی مختلط و حاصل‌ضرب یک ماتریس ستونی متناظر باfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 و یک ماتریس سطری متناظر باfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 می‌باشد:
filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636
برای هر عملگرfilereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636 خطی می‌توانیم بنویسیم:
        (32)                                                   filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
که filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820عنصر ماتریسی nm اُمِ عملگر است.
همانطور که قابل مشاهده است، عملگرfilereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636، در پایه‌ی {filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820} یک ماتریس مربعی A می‌باشد که از سطر و ستون‌های نامتناهی و قابل شمارش تشکیل شده است:
     (33)                                                                                          filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
4-1-2- نمایش ماتریسی معادله‌ی ویژه مقداری
در این قسمت به نمایش ماتریسی معادله‌ی ویژه مقداری و حل آن پرداخته می شود. هدف پیدا کردنِ ویژه مقادیر a و ویژه توابع filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820عملگرfilereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636 است که در معادله‌ی زیر صدق ‌کنند:          (34)     filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820


با استفاده از رابطه‌ی تمامیت و ضرب کردن طرفین تساوی درfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820، معادله‌ی بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:
filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
که درfilereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636 آن به صورت زیر است:
            
                                   (36)                                               filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820
معادله‌ی ویژه مقداری (25) را می‌توان به صورت زیر ساده کرد:
                                (37)                                                    filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820

معادله‌ی بالا نشان دهنده‌ی دستگاهی از بی‌نهایت معادله‌ی همگن است که برای ضرایب filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 تشکیل شده است. این دستگاهِ معادلات، تنها در صورتی جواب دارد که دترمینان ضرایب آن صفر باشد:

                             (38)                                                      filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636
با فرض این‌که پایه‌ی {filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820} شامل N جمله باشد، می‌توان آن را به شکل زیر بازنویسی کرد:



         (39)                                                      filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2
معادله‌ی بالا به معادله‌ی ویژه یا معادله‌ی مشخصه معروف است که یک معادله‌ی مرتبه‌ی N-ام بر حسب a می‌باشد و جواب‌های آن ویژه مقادیر filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 را نتیجه می‌دهد. با به دست آوردن ویژه مقادیر عملگر filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636 می‌توان ویژه توابع مربوط به هر ویژه مقدار را تعیین کرد.
نتیجه‌گیری
برای کمّی کردن مکانیک کوانتومی به فضایی با خصوصیات فضای هیلبرت نیاز است. طبق نمادگذاری دیراک در این فضا حالات ذرات توسط کت‌ها، براها و برا-کت‌ها توصیف می‌شود و اندازه‌گیری‌هایی که روی سیستم انجام می‌گیرد را تحت عنوان عملگر می‌شناسند. در حالت کلی دو نوع فرمول‌بندی برای حل مسائل مکانیک کوانتومی وجود دارد، یکی فرمول‌بندی در پایه‌های گسسته و دیگری فرمول‌بندی در پایه‌های پیوسته است.
مشاهده شد که هر کت به صورت یک ماتریس ستونی و هر برا به شکل یک ماتریس سطری نمایش داده می‌شود. در نمایش ماتریسی، عملگرها به شکل یک ماتریس مربعی ظاهر می‌شوند و در نتیجه‌ی آن معادله‌ی ویژه مقداری به حل یک دترمینان تبدیل می‌شود.




منابـــع و مراجــــع

1.نورالدین زتیلی، "مکانیک کوانتومی- اصول و کاربردها"، ترجمه محمد صبائیان، لاله موسوی، چاپ اول، شیراز، آوند اندیشه، جلد اول (1387).

2.استفان گاسیوروویچ، فیزیک کوانتومی، ترجمه محمدرضا مطلوب، جمیل آریا، ویرایش دوم، جهاد دانشگاهی واحد تربیت معلم (1379).

نظرات و سوالات

نظرات

2 0

امیرعلی نصیری - ‏۱۳۹۶/۱۱/۲۲

سلام.ممنون که زحمت میکشید اما عنایت داشته باشید مخاطب شما دانشجوی فیزیک نیست

فکر ما بچه های مهندسی هم باشید

خیییییییییییلی سنگین و نامفهوم بود

حتما تغییرش بدید لطفا

4 -2

حمیدرضا ادهم - ‏۱۳۹۴/۰۸/۱۷

مباحث سنگین شدن.....

5 0

امیر گرجی - ‏۱۳۹۳/۰۵/۲۵

سلام



خوب بود ولی اگر منبعی معرفی می کردید برای پیش نیاز که محتوی چند تمرین ساده با حلشون بود برای درک بهتر و به یادسپاری بهتر این فرمول ها بهتر هم می شد.

6 -1

محمد رضا باعزم - ‏۱۳۹۲/۱۲/۲۷

آزمون سخت این مقاله مشکل داره درست بالا نمیاد

از لحاظ فهم هم خیلی بد توضیح داده هیچ یک مفهوم قابل درک به آدم نمیده فقط طوطی وار میشه خوند و تکرار کرد

2 -1

سرور شفیعی زادگان اصفهان - ‏۱۳۹۲/۱۱/۱۲

با سلام و وقت بخیر؛در این مقاله امکان ثبت آزمون پس از انجام آزمون وجود ندارد لطفا برای رفع این مشکل اقدام فرمایید.با تشکر

پاسخ مسئول سایت :
با سلام
آزمون تست شد و در حال حاضر مشکلی ندارد.لطفا اعتبار خود را بررسی بفرمایید تا کافی باشد. در صورت بروز مشکل مجدد با ایمیل edu@nano.ir مکاتبه فرمایید تا در صورت نیاز امکان دریافت اطلاعات تکمیلی برای حل مشکل مقدور باشد.
3 0

نحله رضوی - ‏۱۳۹۲/۰۷/۱۱

ممنون

امیدوارم روز به روز شاهد پیشرفت چشمگیر باشیم.

3 -4

ثریا فیض

بسیار عالی و مختصرو مفید بود. سپاس.