برترین کاربران هفتگی این مقاله

از ۱۳۹۷/۰۶/۲۴ تا ۱۳۹۷/۰۶/۳۰

هیچ کاربری در این بازه زمانی وجود ندارد

آمار مقاله
  • بازدید کل ۴۱,۰۰۷
  • بازدید این ماه ۱۷۹
  • بازدید امروز ۳
آمار آزمون مقاله
  • کل شرکت کنندگان ۴۶۱
  • قبول شدگان ۳۵۱
  • شرکت کنندگان یکتا ۱۹۳
  • میانگین درصد شرکت کنندگان ۶۹
واژه نامه فناوری نانو

نانو

nano

پيشوندي به معناي يک بيليونم يا (000،000،000،1/1). در متون فناوري‌نانو، معمولا براي مشخص کردن يک واحد اندازه‌گيري برابر با 10 به توان منفي 9 متر استفاده مي‌شود.

سطح مقاله

پیشرفته 2

نویسندگان
کلمات کلیدی
امتیاز کاربران

ابزار ریاضی و اصول موضوعه‌ مکانیک کوانتومی

در مقاله‌ی قبل، پرکاربردترین ابزار ریاضی مکانیک کوانتومی یعنی نمادگذاری دیراک، معرفی شد. به‌علاوه، چگونگی نمایش حالات سیستم و اندازه‌گیری‌های اعمال شده روی آن، در این نمادگذاری نشان داده شد. هم‌چنین، نمایش ماتریسی براها و کت‌ها در پایه‌های گسسته معرفی شد. در این مقاله، نمایش ماتریسیِ فضای پیوسته شرح داده می‌شود و سپس مکانیک موجی و مکانیک ماتریسی معرفی می‌گردد. پس از آن اصول موضوعه‌ی مکانیک کوانتومی مورد بررسی قرار گرفته و معادله‌ی شرودینگر معرفی می‌شود. سپس مفهوم اندازه‌گیری، که از اصول جدانشدنی مکانیک کوانتومی است، مطرح و در نهایت نیز مرز بین مکانیک کوانتومی و مکانیک کلاسیک تعیین می‌گردد.
1- نمایش ماتریسی در پایه‌های پیوسته
در مقاله‌ی قبل کت‌ها، براها و عملگرها در یک پایه‌ی گسسته، با ماتریس‌های گسسته نمایش داده شد. در این‌جا نشان داده می‌شود که نمایش این کمیت‌ها در یک پایه‌ی پیوسته، با استفاده از ماتریس‌های پیوسته انجام می‌گیرد.
شرط تعامد- بهنجارشِ کت‌های پایه‌ی مربوط به پایه‌ی پیوسته‌ی filereader.php?p1=main_80a69d3d5320ad766، با تابع دلتای پیوسته‌ی دیراک بیان می‌شود
               
                                      (1)                                                   filereader.php?p1=main_44a50f07b4bdc5774

در رابطه‌ی فوق k یک پارامتر پیوسته و ( (k'-k)δ تابع دلتای دیراک است (همانطور که در مقاله قبل گفته شد، در پایه گسسته شرط تعامد-بهنجارشِ کت های پایه به صورت است که دلتای کرونیکر است).
به همین ترتیب شرط تمامیت این پایه‌ی پیوسته، با انتگرال‌گیری روی متغیرهای پیوسته داده می‌شود:
                                           (2)                              filereader.php?p1=main_cf81bc44599fcd8b7

که در آن filereader.php?p1=main_99d15ee7e5a5f0091 عملگر واحد است (با توجه به مقاله قبل شرط تمامیت روی پایه گسسته به صورت filereader.php?p1=main_5fc6269a6a60c829a است).

هر بردار حالت filereader.php?p1=main_a87ff679a2f3e71d9  را می‌توان بر حسب مجموعه‌ی کامل کت‌های پایه filereader.php?p1=main_80a69d3d5320ad766  بسط داد:
   
(3)                                 filereader.php?p1=main_eccbc87e4b5ce2fe2

filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 برابر است با filereader.php?p1=main_44a50f07b4bdc5774 و بیانگر تصویرfilereader.php?p1=main_cf81bc44599fcd8b7  روی filereader.php?p1=main_3ead30037e14a4e32  می‌باشد.
با توجه به آنچه که در مقاله‌ی قبل گفته شد، نمایش ماتریسی کت‌ها، براها و عملگرها در پایه‌های گسسته را به راحتی می‌توان برای پایه‌های پیوسته تعمیم داد. برای نمونه، «کت» filereader.php?p1=main_cf81bc44599fcd8b7  با یک ماتریس ستونی نمایش داده می‌شود؛ این ماتریس از سطرهاfilereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 های پیوسته و نامتناهی تشکیل می‌شود:
                                                                                                  (4)
                                             filereader.php?p1=main_80a69d3d5320ad766
به همین ترتیب «برا» نیز با یک ماتریس سطری شامل عناصر نامتناهی و پیوسته، نشان داده می‌شود:

               (5)                               filereader.php?p1=main_e4da3b7fbbce2345d

عملگرها نیز با ماتریس‌های مربعی که از بی‌نهایت سطر و ستون تشکیل شده‌اند، تعریف می‌شوند:           (6)                      filereader.php?p1=main_1679091c5a880faf6


2- مکانیک ماتریسی و مکانیک موجی
نظریه‌ی مکانیک کوانتومی اساساً با حل یک معادله‌ی ویژه مقداری سروکار دارد:
 
          (7)                            filereader.php?p1=main_8f14e45fceea167a5         
این معادله، معادله‌ی شرودینگر نامیده می‌شود. معادله‌ی شرودینگر یک معادله‌ی کلی است و به دستگاه مختصات و یا نمایش خاصی تعلق ندارد. مکانیک ماتریسی را هایزنبرگ و مکانیک موجی را شرودینگر ارائه داد و با توجه به ساده شدن مسئله یکی از این دو رهیافت انتخاب می شود.
از نظر تاریخی، ابتدا هایزنبرگ فرمول‌بندی ماتریسی مکانیک کوانتومی را ارائه کرد و اندکی پس از آن، شرودینگر نظریه‌ی موجی خود را معرفی نمود. این دو فرمول‌بندی علاوه بر ظاهر متفاوتی که دارند، معادل یکدیگرند و در نهایت به نتیجه‌ی واحدی یعنی طیف انرژی و حالت‌های سیستم‌های کوانتومی یکسان، منجر می‌شوند.

-1- مکانیک ماتریسی
از نمایش مکانیک کوانتومی در پایه‌ی گسسته filereader.php?p1=main_c9f0f895fb98ab915 یک معادله‌ی ویژه مقداری ماتریسی حاصل می شود که در زیر نشان داده شده است:                                                         (8)
                                            filereader.php?p1=main_45c48cce2e2d7fbde
که یک معادله‌ی مرتبه‌ی Nام برحسب E است و جواب‌های آن طیف انرژی سیستم را به دست می‌دهد: E1،E2،E3و...EN با دانستن مجموعه‌ی ویژه مقادیر انرژی به سادگی می‌توان مجموعه‌ی ویژه بردارهای مربوطه راfilereader.php?p1=main_d3d9446802a442597 تعیین کرد:  این دستورالعمل که توسط هایزنبرگ ارائه شد، فقط در مورد کمیت‌های ماتریسی مانند ترازهای انرژی در اتم‌ها، موقعیت، تکانه‌ی خطی، تکانه زاویه‌ای و ... کاربرد دارد. این فرمول‌بندی مکانیک کوانتومی به عنوان مکانیک ماتریسی شناخته می‌شود.
                                                                                       
2-2- مکانیک موجی
نمایش فرمول‌بندی مکانیک کوانتومی در یک پایه‌ی پیوسته به شکل یک معادله‌ی ویژه مقداری دیفرانسیلی می‌باشد. معادله‌ی شرودینگر در فضای مکان، به صورت زیر است:
                             
                                           (9)                                           filereader.php?p1=main_6512bd43d9caa6e02
        
هامیلتونی در نمایش موقعیت با

                                       
                                         (10)                                 filereader.php?p1=main_c20ad4d76fe97759a
            
داده می‌شود که filereader.php?p1=main_c51ce410c124a10e0 انرژی جنبشی سیستم و filereader.php?p1=main_aab3238922bcc25a6 انرژی پتانسیل آن می باشد. به این ترتیب معادله‌ی شرودینگر در پایه‌های پیوسته به فرم زیر نوشته می‌شود:

                                  (11)                          filereader.php?p1=main_9bf31c7ff062936a9
که در آن filereader.php?p1=main_c74d97b01eae257e4 تابع موج سیستم است. جواب‌های این معادله، طیف انرژی سیستم و نیز تابع موج آن را مشخص می‌کنند. این فرمول‌بندی مکانیک کوانتومی در نمایش موقعیت، که توسط شرودینگر ارائه شده است، به عنوان مکانیک موجی شناخته می‌شود.
3- اصول موضوعه اساسی مکانیک کوانتومی
اصول موضوعه‌ی مکانیک کوانتومی به عنوان کم‌ترین فرضیاتی تلقی می‌شوند که برای توسعه‌ی این شاخه از فیزیک، مورد نیاز است. هیچ‌یک از این اصول ، قابل اثبات نیستند و صرفاً از آزمایش‌ها نتیجه شده‌اند.

مطابق با مکانیک کلاسیک، حالت یک ذره در هر زمان t، با دو متغیر دینامیکی مشخص می شود: موقعیت filereader.php?p1=main_70efdf2ec9b086079 و تکانه filereader.php?p1=main_6f4922f45568161a8 هر کمیت فیزیکی دیگر مربوط به این سیستم را می‌توان بر حسب این دو متغیر دینامیکی محاسبه کرد. به علاوه با دانستن این متغیرها در یک زمان معین، می‌توان با استفاده از معادلات هامیلتون:

(12)                                                                   filereader.php?p1=main_1f0e3dad99908345f

                                                                      filereader.php?p1=main_98f13708210194c47 

مقادیر این متغیرها را در هر زمان دیگر 't پیش بینی کرد.
قرینه مکانیک کوانتومی این مفاهیم، همان اصول موضوعه هستند که درک مفاهیم زیر را ممکن می‌سازند:
*چگونه یک حالت کوانتومی در یک زمان t  به صورت ریاضی توصیف می‌شود؟
* چگونه می‌توان کمیت‌های فیزیکی مختلف را از این حالت کوانتومی به دست آورد؟
* با دانستن حالت سیستم در یک زمان t   چگونه می‌توان حالت سیستم را در هر زمان دیگر't یافت؟
* چگونه می‌توان تحول زمانی سیستم را توصیف کرد؟
3-1- اصل موضوعه 1: حالت یک سیستم
حالت هر سیستم فیزیکی در هر زمان t   با یک بردار حالت در فضای هیلبرت H   مشخص می‌شود؛filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 شامل همه‌ی اطلاعات لازم در مورد سیستم است و هر برهم نهی از بردارهای حالت نیز یک بردار حالت است.
3-2- اصل موضوعه 2: مشاهده پذیرها و عملگرها
به هر کمیت قابل اندازه‌گیری A، که یک مشاهده‌پذیر یا متغیر دینامیکی نامیده می شود، یک عملگر هرمیتی filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636 خطی نسبت داده می‌شود که ویژه بردارهای آن تشکیل یک پایه کامل می‌دهند.
3-3- اصل موضوعه 3: اندازه‌گیری‌ها و ویژه مقدارهای عملگرها
اندازه‌گیری یک مشاهده‌پذیر را می‌توان با اعمال filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636 بر بردار حالت filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 نمایش داد. تنها نتیجه‌ی ممکنِ این اندازه‌گیری، یکی از ویژه مقدارهای an عملگر filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636 است. اگر نتیجه‌ی اندازه‌گیری filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636  روی حالت filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820عبارت باشد از an، آن‌گاه حالت سیستم درست بعد از اندازه‌گیری با رابطه‌ی زیر داده می‌شود:
                                                 (13)                     filereader.php?p1=main_8f14e45fceea167a5

3-4- اصل موضوعه 4: نتیجه‌ی احتمالی اندازه‌گیری‌ها
3-4-1- طیف‌های گسسته
وقتی مشاهده‌پذیر یک سیستم روی بردار حالت filereader.php?p1=main_a87ff679a2f3e71d9 اندازه‌گیری می‌شود، احتمال به دست آوردن یکی از ویژه مقدارهای an متناظر با عملگر با رابطه‌ی زیر داده می‌شود:

                                               (14)                 filereader.php?p1=main_c9f0f895fb98ab915

که در آن،filereader.php?p1=main_45c48cce2e2d7fbde ویژه حالت   filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636  با ویژه مقدار  anاست.
اگر سیستم قبلاً در یک ویژه حالت از باشد، اندازه‌گیری  filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636 به طور قطعی، به ویژه مقدار anمنجر می‌شود:

                                 (15)                                filereader.php?p1=main_d3d9446802a442597

3-4-2- طیف‌های پیوسته
رابطه‌ی (14) برای طیف‌های گسسته معتبر است، می‌توان برای یافتن چگالی احتمال در فضای پیوسته، بسط داد. اندازه‌گیری filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636  برای سیستمی که ابتدا در حالتfilereader.php?p1=main_a87ff679a2f3e71d9 بوده است، مقداری بین aو  a+da   به دست می‌دهد:

                              (16)                                   filereader.php?p1=main_6512bd43d9caa6e02

  filereader.php?p1=main_c51ce410c124a10e0 احتمال این است که حالت سیستم، پس از اندازه‌گیری مشاهده‌پذیر A، یکی از ویژه حالات عملگر باشد.
به عنوان مثال، چگالی احتمال یافتن ذره در بازه x و x+dx   به شکل زیر محاسبه می‌شود:

                           (17)                                  filereader.php?p1=main_aab3238922bcc25a6
3-4-5- اصل موضوعه 5: تحول زمانی یک سیستم
تحول زمانی بردار حالت filereader.php?p1=main_c4ca4238a0b923820 یک سیستم، با معادله شرودینگر وابسته به زمان توصیف می‌شود:

                            (18)                                filereader.php?p1=main_9bf31c7ff062936a9
همانطور که قبلاً هم اشاره شد، در رابطه‌ی بالا filereader.php?p1=main_c74d97b01eae257e4 عملگر هامیلتونی مربوط به انرژی کل سیستم می‌باشد:

                           (19)                              filereader.php?p1=main_70efdf2ec9b086079
جمله اول از چپ انرژی جنبشی و filereader.php?p1=main_6f4922f45568161a8  انرژی پتانسیل مربوط به سیستم است.
معادله‌ی شرودینگر وابسته به زمان، به صورت زیر نوشته می‌شود:
        
                           (20)                           filereader.php?p1=main_98f13708210194c47

معادله‌ی مستقل از زمان شرودینگر نیز به شکل زیر می‌باشد:

                         (21)                                     filereader.php?p1=main_3c59dc048e8850243
4- اندازه‌گیری در مکانیک کوانتومی
نظریه‌ی مکانیک کوانتومی از نتایج اندازه‌گیری می‌گوید، این نظریه درباره‌ی آن‌چه که در دنیای فیزیکی خارج از حیطه‌ی اندازه‌گیری رخ می‌دهد، حرفی برای گفتن ندارد.
در فیزیک کلاسیک اندازه‌گیری روی یک سیستم را می‌توان بدون مختل کردن آن، انجام داد. در حالی‌که در مکانیک کوانتومی فرآیند اندازه‌گیری، سیستم را مختل می‌کند. در واقع هنگام اندازه‌گیری روی سیستم‌های کلاسیکی نیز اختلال رخ می‌دهد اما این اختلال به قدری کوچک است که به راحتی می‌توان از آن چشم‌پوشی کرد. اما در سیستم‌های اتمی و زیراتمی، عمل اندازه‌گیری اغتشاشاتی غیرقابل چشم‌پوشی ایجاد می‌کند.
مثال) فرض کنید آزمایشی با هدف اندازه‌گیری موقعیت الکترونی در اتم هیدروژن، طراحی شده باشد. برای این کار لازم است که الکترون با تابش الکترومغناطیسی (فوتون‌ها) بمباران شود. اگر بخواهیم موقعیت الکترون را بطور دقیق مشخص گردد، طول موج تابش باید به حد کافی کوتاه باشد. چون مدار الکترونی از مرتبه‌ی 10-10m است، باید از تابشی استفاده شود که طول موج آن کم‌تر از 10-10m باشد. به این ترتیب، برای بمباران الکترون به فوتون‌هایی با انرژی بیش‌تر از

                              (22)                             filereader.php?p1=main_37693cfc748049e45

نیاز است. وقتی چنین فوتون‌هایی به الکترون برخورد می‌کنند، نه تنها الکترون را مختل می‌نمایند بلکه آن را به طور کامل از مدارش خارج می‌کنند. از آن جایی که انرژی یونش اتم هیدروژن در حدود 13.5eV است، صِرف عمل اندازه‌گیریِ موقعیت الکترون، آن را بطور قابل ملاحظه‌ای مختل می‌نماید.
عمل اندازه‌گیری بطور کلی حالت سیستم را تغییر می‌دهد. از لحاظ نظری، هر وسیله‌ی اندازه‌گیری، با یک عملگر نشان داده می‌شود، به گونه‌ای که پس از اندازه‌گیری، سیستم در یکی از ویژ حالت‌های عملگر قرار خواهد گرفت.
حالت یک سیستم را قبل از اندازه‌گیری مشاهده‌پذیر A، می‌توان به شکل زیر نمایش داد:

                            (23)                                        filereader.php?p1=main_1ff1de774005f8da1  
 

مطابق با اصل موضوعه‌ی چهارم، عمل اندازه‌گیری حالت سیستم را از filereader.php?p1=main_a87ff679a2f3e71d9 به یکی از ویژه حالت‌های |filereader.php?p1=main_45c48cce2e2d7fbde عملگر filereader.php?p1=main_c81e728d9d4c2f636   خواهد بُرد و نتیجه‌ی حاصل، ویژه مقدار an   خواهد بود. تنها استثنا برای این قاعده هنگامی است که سیستم قبلاً در یکی از ویژ حالت‌های مشاهده‌پذیر حین اندازه‌گیری بوده باشد. برای نمونه، اگر سیستم در ویژه حالتfilereader.php?p1=main_45c48cce2e2d7fbde باشد، یک اندازه‌گیری از مشاهده‌پذیر ، بطور قطعی (با احتمالی برابر 1) مقدار an   را، بدون تغییر در حالت filereader.php?p1=main_45c48cce2e2d7fbde ، به دست می‌دهد.
پیش از اندازه‌گیری، به یقین نمی‌توان تغییری که در حالت سیستم اتفاق می‌افتد، را تعیین کرد. به عبارت دیگر، نمی‌توان گفت که پس از اعمال اندازه‌گیری، حالت سیستم در کدام‌یک از ویژه حالات مختلف filereader.php?p1=main_45c48cce2e2d7fbde قرار می‌گیرد و تنها از یک نتیجه‌ی احتمالی می‌‌توان سخن گفت. همانگونه که اشاره شد، طبق اصل موضوعه‌ی چهارم، احتمال یافتن سیستم در یکی از ویژه حالات عملگر اندازه‌گیری مورد نظر، با رابطه‌ی زیر داده می‌شود:

                                  (24)                            filereader.php?p1=main_8e296a067a3756337
در نهایت می‌توان گفت مکانیک کوانتومی در مواردی که اندازه‌گیری‌ها با حالات سیستم تداخل می‌کنند، کار می‌کند. از دیدگاه مکانیک کوانتومی، نمی‌توان اثراتی که تجهیزات اندازه‌گیری روی حالت سیستم‌ها برجای می‌گذارند، را نادیده گرفت. بطور کلی، اندازه‌گیری‌های مشخص نمی‌توانند بدون ایجاد اغتشاش اساسی روی سایر خصوصیات سیستم کوانتومی، انجام شوند؛ در حقیقت، این اثراتِ تداخل ابزار اندازه‌گیری با سیستم است که جوهره‌ی مکانیک کوانتومی را تشکیل می‌دهد.
5- مکانیک کوانتومی و مکانیک کلاسیک
در مباحث اولیه‌ی مکانیک کوانتومی، مشاهدات تجربی که تأییدی بر نقص فیزیک کلاسیک بودند، مطرح شد؛ اما این نکته را باید در نظر داشت که فیزیک کلاسیک در قلمرو دنیای ماکروسکوپی به خوبی کار می‌کند. با توجه به این ادعا که نظریه‌ی مکانیک کوانتومی کلی‌تر از فیزیک کلاسیک در نظر گرفته می‌شود، باید بتواند نه تنها در مقیاس میکروسکوپی، بلکه در حد کلاسیک نیز نتایج دقیقی به دست بدهد.
سوالی که مطرح می شود این است که چگونه می‌توان تصمیم گرفت که برای توصیف حرکت یک سیستم معین، چه موقع باید از مکانیک کوانتومی و چه موقع از مکانیک کلاسیک استفاده کرد؟ به عبارت دیگر، چگونه می‌توان پی برد چه موقع توصیف کلاسیکی کافیست و چه موقع باید از توصیف کوانتومی استفاده شود؟
پاسخ این پرسش، از مقایسه‌ اندازه‌ی کمیت‌هایی از سیستم که بُعد کنش (بعدی که اندازه گیری روی آن انجام می شود) دارند، با ثابت پلانک، بدست می‌آید. می‌توان گفت که اگر متغیر دینامیکی یک سیستم که بُعد کنش دارد، در مقایسه با h   خیلی بزرگ‌تر باشد، این سیستم را می‌توان بطور دقیق با فیزیک کلاسیک توصیف کرد. در غیر اینصورت، استفاده از توصیف کوانتومی اجتناب‌ناپذیر است. باید به یاد داشت که برای سیستم‌های میکروسکوپی، اندازه‌ی متغیرهای کنش از مرتبه‌ی h است. به عنوان مثال، اندازه حرکت زاویه‌ای اتم هیدروژن L=nħ است، که در آن n   متناهی می‌باشد.
روش معادل دیگر، برای یافتن حد کلاسیکی، استفاده از طول است. با توجه به طول موج دوبروی ذرات filereader.php?p1=main_4e732ced3463d06deحوزه‌ی کلاسیکی را می‌توان با حد λ0 مشخص کرد. این بدان معناست که سیستمی را که طول موج دوبروی آن در مقایسه با اندازه‌اش کوچک باشد، می‌توان بطور دقیق با فیزیک کلاسیک توصیف کرد.
بطور خلاصه، حد کلاسیکی را می‌توان با حد h0، یا معادل آن λ0، توصیف کرد. در این حدود، پیش‌بینی‌های مکانیک کوانتومی باید شبیه پیش‌بینی‌های فیزیک کلاسیک باشد:
                                                                       مکانیک کلاسیک → (مکانیک کوانتومی) filereader.php?p1=main_02e74f10e0327ad86
                                                                       مکانیک کلاسیک → (مکانیک کوانتومی) filereader.php?p1=main_02e74f10e0327ad86
از این رو، مکانیک کلاسیک را می‌توان به عنوان حد «طول موجِ کوتاه»ِ مکانیک کوانتومی در نظر گرفت و به این ترتیب، مکانیک کوانتومی، مکانیک کلاسیک را به عنوان یک حالت حدی در بر دارد. در نتیجه در حد h0 یا λ0، کمیت‌های دینامیکی کوانتومی باید تناظر یک به یکی با قرینه‌های کلاسیک‌شان داشته باشند و این، اساس اصل تطابق است.
چگونه می‌توان در حد کلاسیک، طبیعت احتمالی مکانیک کوانتومی را با قطعیت فیزیک کلاسیک سازگار کرد؟
هنگامی‌که h0 می‌توان افت‌وخیزهای کوانتومی را ناچیز شمرد، به این دلیل که اصل عدم قطعیت هایزنبرگ در حد h0، صورتِ قطعیت به خود می‌گیرد و به این ترتیب افت‌وخیزهای موقعیت filereader.php?p1=main_934b535800b1cba8f و اندازه حرکت filereader.php?p1=main_698d51a19d8a121ce صفر خواهد شد.
در نتیجه، برای مواردی که متغیرهای کنش سیستم در مقایسه با h خیلی بزرگ هستند (یا بطور معادل، وقتی ابعاد سیستم در مقایسه با طول موج دوبروی، بزرگ‌تر باشد)، مکانیک کوانتومی همان نتایج مکانیک کلاسیک را می‌دهد.



منابـــع و مراجــــع

1.نورالدین زتیلی، "مکانیک کوانتومی- اصول و کاربردها"، ترجمه محمد صبائیان، لاله موسوی، چاپ اول، شیراز، آوند اندیشه، جلد اول (1387)

1.استفان گاسیوروویچ، فیزیک کوانتومی، ترجمه محمدرضا مطلوب، جمیل آریا، ویرایش دوم، جهاد دانشگاهی واحد تربیت معلم (1379)

نظرات و سوالات

نظرات

3 -5

ثریا فیض

بسیار عالی و جامع بود. سپاس.